Уравнения кинематики и динамики манипуляторов

Уравнения кинематики манипуляторов. Прямая и обратная задачи кинематики формулируются следующим образом.
Прямая задача. Задана кинематическая схема манипулятора, и в некоторый момент времени известны значения обобщенных координат, определяющих положение всех звеньев манипулятора друг относительно друга. Требуется определить положение и ориентацию схвата в системе отсчета, связанного с основанием.
Обратная задача. Задана кинематическая схема манипулятора и известны положения и ориентация схвата в системе координат основания. Требуется определить значения обобщенных координат, которые обеспечивают заданное положение схвата.
Они должны удовлетворять условиям. Рассчитанные для конкретных значений предельные значения используются для выбора приводов по скорости, моменту и мощности.
Кинематическая схема манипулятора второго типа показана на рис. При такой схеме невозможно записать уравнения кинематики для прямой и обратной задач столь просто, как ранее. В этом случае используются различные координатные системы для отдельных звеньев, разметка осей которых выполняется по определенным правилам. Выполняя действия переноса координатных осей, записывают уравнения для прямой и обратной задач кинематики. Эти действия выполняются также по определенным правилам. Правила разметки и переноса координатных осей и выводы уравнений кинематики для манипулятора второго типа подробно изложены в пособии.
Уравнения динамики манипуляторов. Динамика манипулятора описывается системой дифференциальных уравнений, в которых отражается участие всех звеньев манипулятора в движении.
При втором способе декомпозиции — динамической декомпозиции — устанавливаются такие соотношения в быстродействии контуров управления сепаратных систем и взаимосвязей, при которых динамические проявления взаимосвязей оказываются малыми. Это требует высокого быстродействия (полос пропускания) контуров управления, которое может ограничиваться динамическими свойствами управляемых преобразователей, приводов, передаточных механизмов и звеньев манипулятора. В современных сервоприводах переменного тока можно обеспечить высокие быстродействия при соответствующих исполнениях механических узлов приводов.
Для математической трактовки динамической декомпозиции выполним линеаризацию системы управления, рассматривая динамические процессы в приращениях относительно начальных значений переменных и параметров, обозначенных индексом 0. Траекторные режимы движения звеньев манипулятора при больших изменениях переменных и параметров можно рассматривать в виде последовательностей временных интервалов, на каждом из которых имеются свои, постоянные на данном интервале начальные значения. Поэтому анализ процессов в линеаризованных системах следует проводить при всех наиболее неблагоприятных сочетаниях начальных значений параметров и переменных.
Характеристический полином замкнутой системы в случае декомпозиции разделяется на два полинома, содержащих корни только собственных автономных систем.
Оценим условия настройки контуров положения и скорости, при которых взаимосвязи систем будут слабыми. Примем, что контуры положения, скорости и тока в двух сепаратных системах оптимизированы одинаково и соответствующие им малые некомпен-сируемые постоянные времени контуров также одинаковы. Принимая регуляторы токов, скоростей и положений соответственно в виде ПИ, ПИ и П-регуляторов и полагая, что на входе регуляторов скорости установлены инерционные звенья для уменьшения интенсивности динамических процессов в контурах скорости и тока, а частоты среза контуров тока.